דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:

Transcript

1 של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ השמאלי של כתת העץ של T ששורשו,left() דהינו left() T. באופן דומה, נגדיר את תת העץ הימני של כתת העץ של T ששורשו right() דהינו.T right() עבור עץ בינארי T, נגדיר עלה עמוק ימני בעץ T, כעלה הימני ביותר מבין העלים שנמצאים ברמה העמוקה ביותר בעץ T. לדוגמה, העלה העמוק ימני בעץ T שמתואר בציור בעמוד הבא הוא העלה שהמפתח שלו הוא לאחר הקריאה לתוכנית P1(T) עבור העץ T שבציור יתקבל הפלט הבא: 3,, 8,5,7 לדוגמה, הצומת 3 שמופיע בפלט הוא צומת טוב כי הסכום לעלה עמוק ימני בתת העץ הימני שלו שווה ל- 35= והוא גדול יותר מסכום המפתחות של הצמתים בתת העץ השמאלי שלו ששווה ל =33 נגדיר את הסכום לעלה עמוק ימני בעץ T, נסמנו ב- sum-deep-leaf(t) כסכום המפתחות של הצמתים שנמצאים במסלול משורש העץ T לעלה העמוק הימני בעץ T. נסמן ב- sum(t) את סכום המפתחות של כל הצמתים בעץ T. נגדיר שצומת שנמצא בעץ בינארי T הוא צומת טוב, אם הסכום לעלה עמוק ימני בתת העץ הימני של, גדול מסכום המפתחות של הצמתים בתת העץ השמאלי של. במילים אחרות איבר הוא טוב אם מתקיים : sum-deep-leaf(t right() ) > sum(t left() ) כתוב/כתבי פסאודו-קוד לפונקציה בשם P1, יעילה ככל האפשר, אשר מקבלת כפרמטר עץ בינארי T ומדפיסה (לפי סדר כלשהו) את מפתחות כל האיברים הטובים בעץ T. נתח/י את סיבוכיות זמן הריצה של הפונקציה שכתבת כתלות במס' האיברים בעץ (n). הנחות ודרישות: אין להשתמש במבני עזר נוספים. מותר להשתמש במשתנים (כמו למשל.(,y,z מס' המשתנים האלו הוא קבוע שאינו תלוי ב- n. 1

2 P1(T). שאלה זומבוססת על שאלה שהופיעה במבחן מועד ב 01 =root(t) if ( == NULL) { y.sum=0 y.sum-deep-leaf=0 y.h=0 return y y1=p1(t left() ) y=p1(t right() ) y.sum=y1.sum+y.sum+key() y.h=ma{y1.h,y.h+1 if (y1.h > y.h) { y.sum-deep-leaf=y1.sum-deep-leaf+key() else y.sum-deep-leaf=y.sum-deep-leaf+key() if (y.sum-deep-leaf > y1.sum) { print key() return y להלן ניתוח הסיבוכיות שהוא בדיוק כפי שמוצג באתר הקורס (בתוספת לחוברת שנקראת.(ore eamples on trees נסמן ב- T(n) את זמן הריצה של התוכנית כתלות במספר הצמתים בעץ n. מספר הקריאות הרקורסיביות T(n) C 1 + C C 1 + C n= θ(n) ולכן T(n)=O(n) מצד שני, ולכן T(n)=Ω(n) ולסיכום T(n)=θ(n) T(n) הקריאות הרקורסיביות מספר n= θ(n) במערכת המחשוב של משרד החינוך שומרים נתונים על מורים, בתי ספר ומקצועות הלימוד. עבור כל מורה שומרים: מספר תעודת זהות ופרטים על המקצועות אותם הוא מלמד ועל בתי הספר בהם הוא מלמד. עבור כל בית ספר שומרים: שם בית הספר (בהנחה ששם זה מזהה את בית הספר באופן יחיד) ופרטים על המורים שמלמדים בבית הספר והמקצועות הנלמדים בבית הספר. עבור כל מקצוע שומרים: מספר מקצוע ופרטים על המורים שמלמדים מקצוע זה ועל בתי הספר בהם נלמד מקצוע זה. הערה: האופן בו נשמרים הנתונים הנ"ל אינו מפורט, ויהיה עליך לציין אותו כחלק מפתרון השאלה. הצע/הציעי מבנה נתונים עבור המערכת הנ"ל ששומר את הנתונים הנ"ל ותומך בפעולות הבאות: בהינתן מספר תעודת זהות של מורה, מספר מקצוע ושם בית ספר הוספת/מחיקת הנתון שהמורה מלמד את המקצוע בבית הספר בזמן O(m logr+logp) בממוצע, כאשר m מציין את מספר בתי הספר בהם המורה מלמד את המקצוע, p מציין את מספר המקצועות שהמורה מלמד, ו- r מציין את מספר המורים שמלמדים את המקצוע. בהינתן מספר תעודת זהות של מורה, הדפסת רשימת כל המקצועות אותם מלמד המורה כאשר עבור כל מקצוע בנוסף למספר המקצוע מודפס מספר שמציין את מספר בתי הספר שבהם מלמד המורה את המקצוע. על רשימת המקצועות להיות ממוינת לפי מספר בתי הספר בהם מלמד המורה את המקצוע בסדר עולה. על פעולה זו להתבצע בזמן O(p) בממוצע כאשרp מציין את מספר המקצועות אותם מלמד המורה. לדוגמה אם המורה מלמד מקצוע A ב- 3 בתי ספר, מקצוע B ב- 5 בתי ספר ומקצוע C ב- בתי ספר, אזי הפלט יהיה (לפי הסדר משמאל לימין): C,A 3,B 5 בהינתן מספר מקצוע ומספר בית ספר, הדפסת כל המורים שמלמדים מקצוע זה בבית ספר זה, כאשר המורים ממוינים לפי מספר בתי הספר בהם הם מלמדים מקצוע זה בסדר עולה. על פעולה זו להתבצע בזמן O(q) בממוצע כאשר q מציין את מספר המורים שיודפסו. לדוגמה, נניח שמורה X מלמד את המקצוע הנתון בבית הספר הנתון ובעוד 3 בתי ספר, ומורה Y מלמד את המקצוע הנתון בבית הספר הנתון ובעוד 6 בתי ספר, ומורה Z מלמד את המקצוע הנתון בבית הספר הנתון ובעוד בתי ספר, אזי הפלט יהיה (לפי הסדר משמאל לימין):. Z,X,Y תאר/י באופן מילולי איך מתבצעות כל הפעולות הנ"ל. 3

3 טבלתhash מורים מפתח: מספר ת.זשלמורה המוצע: טבלת Hash של מורים, מפתח: מס' תעודת זהות של מורה. כל המבנה איבר בטבלה מכיל מצביע לעץ -3 ראשון של מקצועות שאותם מלמד המורה ומצביע לעץ -3 שני של מספרים. כל איבר בעץ -3 הראשון מיצג מקצוע והמספר המתאים לו בעץ -3 השני שווה למספר בתי הספר שבהם המורה מלמד את המקצוע. לכל איבר בעץ -3 הראשון יש מצביע למספר המתאים לו בעץ השני ולהיפך. בין העלים בעץ -3 השני ישנה רשימה מקושרת. מהאיבר ב- Hash יש מצביע לעלה השמאלי ביותר בעץ השני. טבלת Hash מקצוע-בית ספר, מפתח: צרוף של מספר מקצוע ושם בית ספר. כל איבר בטבלה מכיל מצביע לעץ -3 ראשון של מיצגים של מורים, ומצביע לעץ -3 שני של מספרים. כל איבר בעץ -3 הראשון מיצג מורה שמלמד את המקצוע בבית הספר והמספר המתאים לו בעץ -3 השני שווה למספר בתי הספר שבהם המורה מלמד את המקצוע. לכל איבר בעץ -3 הראשון יש מצביע למספר המתאים לו בעץ השני ולהיפך. בין העלים בעץ -3 השני ישנה רשימה מקושרת. מהאיבר ב- Hash יש מצביע לעלה השמאלי ביותר בעץ השני. טבלת Hash מורה-מקצוע, מפתח: צרוף של מספר תעודת זהות של מורה ומספר מקצוע. כל איבר בטבלה מכיל מצביע לרשימה מקושרת לא ממוינת של בתי ספר שמכילה את כל בתי הספר שבהם מלמד המורה את המקצוע. עץ -3 שני מפתח: מספר בתי ספרשבהםהמורה מלמדאתהמקצוע עץ -3 ראשון מפתח: מספרמקצוע בית A מקצוע B א מקצוע ספר 1 מקצוע C עץ -3 שני מפתח: מספר בתי ספרשבהםהמורה מלמדאתהמקצוע עץ -3 ראשון מפתח: ת.זמורה טבלתhash מקצוע-ביתספר מפתח: מספרמקצוע- שםביתספר מורה W מורה Z מורה X מורה Y התרשים הבא מתאר את מבנה הנתונים המוצע בהנחה שבמבנה הנתונים ישנם 3 בתי ספר א-ג, מורים W-Z וחמישה מקצועות A-E והנתונים על המקצועות אותם מלמדים המורים הם כפי שמתואר להלן: מורה W מלמד מקצועות A,C,E בבית ספר א ומקצועות A,E בבית ספר ב מורה X מלמד מקצועות A,D בבית ספר א ומקצועות B,D,E בבית ספר ג מורה Y מלמד מקצועות B,C,D בבית ספר ג ומקצועות A,C,E בבית ספר ב מורה Z מלמד מקצועות,D,E בבית ספר א, מקצועות C,D בבית ספר ב ומקצוע D בבית ספר ג על מנת לפשט את התרשים בטבלת המורים הוצגו רק העצים (ראשון ושני) שמורה W מצביע עליהם. בטבלה של מקצוע-בית ספר הוצגו רק הצרופים של המקצועות A-C ובתי הספר שבהם מלמדים מקצועות אלו. בטבלה זו הוצגו רק העצים (ראשון ושני) שהאיבר שמתאים למקצוע C ובית ספר ב מצביע עליהם. בטבלה של מורה-מקצוע הוצגו רק הצרופים של המורים X,W והמקצועות אותם מלמדים מורים אלו. בטבלה זו הוצגה רק הרשימה המקושרת שמצביע עליה האיבר שמתאים למורה W ומקצוע A. טבלתhash מורה-מקצוע מפתח: ת.ז מורה- מספרמקצוע מקצוע C בית ספר ב מקצוע A בית ספר ב מקצוע C בית ספר א מקצוע A בית ספר א מקצוע C בית ספר ג מקצוע B בית ספר ג 1 מורה Z מורה Y בית ספר ב רשימה מקושרת של בתי הספר שבהם המורה מלמד את המקצוע מפתח: שם בית ספר בית ספר א 5 מורה X מקצוע B מורה X מקצוע A מורה W מקצוע E מורה W מקצוע A מורה W מקצוע C 6 מורה X מקצוע E מורה X מקצוע D

4 בהינתן מספר תעודת זהות של מורה, מספר מקצוע ושם בית ספר פעולת הוספת הנתון שהמורה מלמד את המקצוע בבית הספר מתבצעת באופן הבא: מחפשים את המורה בטבלת המורים ((1)O בממוצע) ממנו מגיעים לעץ -3 הראשון ומחפשים את האיבר המתאים למקצוע (O(logp)) ממנו מגיעים לאיבר המתאים לו בעץ -3 השני, מוציאים אותו מהעץ -3 השני ומוספים במקומו איבר שגדול ממנו ב-.(O(logp)) 1 לאחר מכן מחפשים את האיבר המתאים למורה ולמקצוע בטבלת המורה- מקצוע ((1)O בממוצע). עוברים על כל האיברים ברשימה המקושרת עליה האיבר מצביע, לכל בית ספר שברשימה מחפשים את האיבר המתאים למקצוע- בית ספר בטבלה מקצוע-בית ספר ((1)O בממוצע). ממנו מגיעים לעץ -3 הראשון עליו הוא מצביע ומחפשים בו את המורה.(O(logr)) מהמורה מגיעים לאיבר המתאים לו בעץ -3 השני מוציאים אותו מהעץ ומוסיפים במקומו איבר הגדול ממנו ב-.(O(logr)) 1 מאחר והפעולה מתבצעת על m בתי ספר סך הכול זמן הפעולה הוא O(mlogr) בממוצע. לאחר שמסיימים לעבור על כל בתי הספר שברשימה המקושרת כפי שתואר לעיל, מוסיפים לתחילת הרשימה המקושרת את בית הספר ((1)O), מחפשים את האיבר המתאים למקצוע-בית ספר בטבלה מקצוע-בית ספר ((1)O בממוצע) ממנו מגיעים לעץ -3 הראשון עליו הוא מצביע ומוסיפים לו את המורה. ממנו מגיעים לעץ -3 השני ומוסיפים איבר שמכיל את המספר m שמתאים למספר בתי הספר שבהם מלמד המורה את המקצוע.(O(logr)) מקרי הקצה שבהם לא קיים איבר שמתאים למורה ולמקצוע בטבלת מורה-מקצוע ושלא קיים איבר שמתאים למקצוע ולבית הספר בטבלת מקצוע-בית ספר לא פורטו. לפיכך, סך הכול סיבוכיות הזמן של הפעולה היא.O(mlogr+logp) בהינתן מספר תעודת זהות של מורה, מספר מקצוע ושם בית ספר פעולת מחיקת הנתון שהמורה מלמד את המקצוע בבית הספר מתבצעת באופן דומה לפעולת ההוספה בהבדל שבמקום להוסיף 1 לאיבר המתאים בעץ -3 השני מחסירים 1, במקום להוסיף מורה לעץ -3 הראשון המתאים למקצוע ולבית הספר מוציאים את המורה ובמקום להוסיף בית ספר לרשימה המקושרת המתאימה למקצוע ולמורה מוציאים את בית ספר מהרשימה המקושרת. בהינתן מספר תעודת זהות של מורה, הדפסת רשימת כל המקצועות אותם מלמד המורה מתבצעת באופן הבא: מחפשים את המורה בטבלת המורים ((1)O בממוצע), ממנו מגיעים לעלה השמאלי ביותר בעץ -3 השני. עוברים על העלים בעץ -3 השני משמאל לימין ולכל עלה מדפיסים את ערכו ואת המקצוע המתאים לו בעץ הראשון O(p)) בממוצע). בהינתן מספר מקצוע ומספר בית ספר, הדפסת כל המורים שמלמדים מקצוע זה בבית ספר זה מתבצעת באופן הבא: מחפשים את האיבר המתאים למקצוע ולבית הספר בטבלת מקצוע-בית ספר ((1)O בממוצע). ממנו מגיעים לעלה השמאלי ביותר בעץ -3 השני. עוברים על העלים בעץ -3 השני משמאל לימין ולכל עלה מדפיסים את המורה שמתאים לו בעץ הראשון.(O(q)) לכן, סך הכול סיבוכיות הזמן של הפעולה היא O(q) בממוצע..3 שאלה זו הופיעה במבחן מועד ג 01 נתח את סיבוכיות זמן הריצה (במונחים של ( θ של קטע הקוד הבא כתלות ב- n. נמק את תשובתך. = 0 for (i=1; i n; i++) { for (j=i; j n; j++) { ++ z=1 y=0 while (z ) { z=z* y++ בשאלות מהסוג הזה, מאחר ובהמשך יש לולאת while שתלויה ב- וזמן הריצה שלה הוא חשוב להעריך במדויק את הערך של בחלק הראשון, כי אם יוצא n או 3n התשובה בהמשך תהיה שונה כי n 3n ( ) ( ) נסמן ב- w את מספר הפעמים שנכנסים ללולאת ה-.while נחשב תחילה את w כתלות ב-. נסמן ב- z k את הערך של המשתנה z לאחר k כניסות ללולאה בסוף הלולאה. נקבל ש- k zk = מאחר ו- נקבל: ולכן θ θ z w > w > w> 7 8

5 z w 1 שאלהזומבוססתעלשאלהשהופיעהבמבחןמועדב 01 מצד שני:. ולכן ולכן בסך הכול נקבל ש- נחשב את הערך של שמתקבל מהחלק הראשון של קטע הקוד. בכל כניסה ללולאה הפנימית הערך של גדל ב- 1. ולכן הערך של בסיום קטע הקוד הראשון שווה למספר הכניסות ללולאה הפנימית. עבור 1=i נכנסים n פעמים ללולאה הפנימית עבור =i נכנסים 1-n פעמים ללולאה הפנימית עבור 3=i נכנסים -n פעמים ללולאה הפנימית... עבור i=n נכנסים פעם אחת ללולאה הפנימית עבור n<i n לא נכנסים ללולאה הפנימית ולכן הערך של ולכן: w= +1 w 1 w 1 w +1 לאחר ביצוע קטע הקוד הראשון שווה ל- n+ ( n 1) + ( n ) + L+ 1= + 3+ Ln= (1/ ) n ( n+ 1) T ( n) = C + C 1 n+ C 3 (1/ ) n ( n+ 1) + C (1/ ) n ( n+ 1) + 1 = θ ( (1/ ) n ( n+ 1) ) הוכח שלכל מספר שלם חיובי (וגדול מ- 1) n כך ש- 1-n מתחלק ב- (ללא שארית), קיים עץ בינארי שמקים את התנאים הבאים: 1) מספר הצמתים בעץ הוא בדיוק n. ) גובה העץ קטן מ- 3) מספר העלים בעץ גדול או שווה ) קיימים בעץ לפחות צמתים שיש להם בן אחד בדיוק והגובה שלהם גדול מ- n log n 1 8 n n 1 לכל n כך ש- 1-n מתחלק ב- (ללא שארית), נבנה את העץ הבא ונראה שהוא עומד בכל הדרישות: מסלולשמכיל +1/(1-n) צמתים עץכמעטשלםשמכיל /(1-n) צמתים N O בהמשך נסמן את הצומת הזה כצומת מסלולשמכיל +1/(1-n) צמתים עץכמעטשלםשמכיל (n-1)/ - צמתים פעולות בלולאת ה- while פעולות בלולאה הפנימית פעולות בלולאה החיצונית פעולות מחוץ ללולאות 9 10

6 + / n 1) ( = מספרהצמתיםבעץ ( n 1) / + ( n 1) / + כדי לראות שאי השוויון האחרון נכון עבור 13 n נציב 13=n ונראה שאי השוויון מתקיים, ומאחר והפונקציה שבצד ימין של אי השוויון עולה יותר מהר מהפונקציה בצד שמאל, נקבל שגם עבור 13<n אי השוויון מתקיים. ולכן הראנו שגובה העץ קטן מ- /n. מספרהעליםבעץהכמעט שלםהעליוןפחות 1 (כי לצומת ישבנים) = מספר העלים בעץ מספר הצמתים במסלול שמתחיל בבן השמאלי של צומת מספרהצמתים במסלול שמתחילבבןהימנישל צומת מספרהצמתים בעץהכמעט שלםהעליון + + מספר העלים בעץ הכמעט שלם התחתון + ( n 1) / + 1= n כי לכל אחד משני המסלולים יש עלה אחד על סמך טענה 8 מספרהצמתיםבעץהכמעט שלםהתחתוןועוד 1 (עבור האבאשלשורשהעץ) = ( n 1) / + 1 ( n 1) / = ( n 1) + ( n 1) n 1 n = ולכן הראנו שמספר העלים בעץ גדול או שווה ל- 8/(1-n). ולכן הראנו שמספר הצמתים בעץ שבנינו הוא n. גובה העץ הכמעט שלם העליון שהוא עץ כמעט שלם שמכיל /(1-n) צמתים + / (n 1) = גובההעץ מספרהצמתיםבמסלול שמתחילבבןהימנישל צומת ( n 1) / + log( n 1) / ) < n / log ( ( n 1) / ) = log( n / + 3/ ) log n / על סמך טענה 6 ולכן הרמה של כל הצמתים שנמצאים מתחת לעץ הכמעט שלם העליון גדולה מ- log n / נחשב את מספר הצמתים שנמצאים מתחת לעץ הכמעט שלם העליון שיש להם בן אחד בדיוק ונראה שהוא גדול או שווה ל - /(1-n). גובה העץ הכמעט שלם העליון על סמך טענה 6 עבור 13 n 11 1

7 5. שאלה זו הופיעה במבחן מועד ג 013 א חלק שאלה זו מתייחסת להוספה של איברים בעץ AVL לפי האלגוריתמים שנלמדו בכיתה. האם קיים עץ T AVL שמקים את שני התנאים הבאים: כי לאבא של השורש של העץ הכמעט שלם התחתון יש בן אחד בדיוק 1) גובה העץ הוא בדיוק 5. ) לא קיימים שלושה צמתים כך שאם נוסיף אותם לעץ המקורי T אחד אחרי השני גובה העץ יגדל ב- 1. ( n 1) / 1 + ( n 1) / + 1 = ( n 1) / אם תשובתך היא כן צייר עץ כזה. אם תשובתך היא לא, נמק מדוע לא קיים עץ כזה. ב חלק שאלה זו מתייחסת להוספה של איברים מעץ B לפי החומר ללימוד עצמי שנמצא באתר הקורס. כילכלאחדמהצמתים במסלולשמתחילמהבן הימנישלצומת ישבן אחדבדיוקפרטלעלה כילכלאחדמהצמתים במסלולשמתחילמהבן השמאלישלצומת יש בןאחדבדיוקפרטלעלה ולבןהשמאלישלצומת מספרהצמתיםשנמצאים מתחתלעץ הכמעטשלם העליוןשישלהםבןאחד בדיוק ולכן הראנו שקיימים בעץ לפחות /(1-n) צמתים שיש להם בן אחד בדיוק והרמה שלהם גדולה מ- log n / יהי T עץ B (שבו 3=t) שמקיים את התנאים הבאים: 1) גובה העץ הוא בדיוק. ) לכל צומת בעץ שאינו עלה יש בדיוק בנים. במילים אחרות, לכל צמתי הדמה בעץ יש בדיוק בנים. (לפיכך, לעץ יש בדיוק 6 עלים). מהו המספר הקטן ביותר של איברים שיש להוסיף לעץ (אחד אחרי השני) כדי שגובה העץ יגדל ב- 1. נמק את תשובתך על ידי ציור העץ T וציון הצמתים שצריך להוסיף לעץ כדי שגובהו יגדל ב- 1. לסיכום, הראנו שהעץ שבנינו מקיים את כל דרישות השאלה. 13 1

8 א חלק פתרון העץ הבא מקיים את כל התנאים שבשאלה: 5 ב חלק פתרון העץ שתואר בשאלה נראה כך: כדי להגדיל את גובה העץ ב- 1 במינימום הוספות נוסיף תמיד לתתי עצים עם מספר גדול ביותר של עלים. כדי שהגובה יגדל ב- 1 צריך להגיע למצב שבו לשורש יש 6 בנים. לצורך כך צריך ליצור פיצול בשני בנים של השורש. נסתכל על תת העץ ששורשו הבן השמאלי של השורש. תת עץ זה נראה כך: כפתרון של השאלה הציור של העץ הנ"ל מספיק. כדי להוכיח שאי אפשר להגדיל גובה את העץ ב- 1 על ידי הוספת 3 צמתים אפשר להשתמש בהוכחה שמתוארת להלן. בהרצאה הראנו: מספרהצמתיםבעץ AVL קטןביותר בגובהh = מספרהצמתיםבעץ AVL קטןביותר בגובהh- 1 + מספרהצמתיםבעץ AVL קטןביותר + בגובהh נפצל את הבן השמאלי של השורש של תת העץ הנ"ל על ידי הוספת 3 צמתים: ונקבל את תת העץ הבא: נפעיל את הנוסחה הנ"ל ונקבל: מספר הצמתים בעץ AVL קטן ביותר בגובה 1 שווה ל- 1 מספר הצמתים בעץ AVL קטן ביותר בגובה שווה ל- מספר הצמתים בעץ AVL קטן ביותר בגובה 3 שווה ל- מספר הצמתים בעץ AVL קטן ביותר בגובה שווה ל- 7 מספר הצמתים בעץ AVL קטן ביותר בגובה 5 שווה ל- 1 מספר הצמתים בעץ AVL קטן ביותר בגובה 6 שווה ל- 0 בעץ שבציור יש 1 צמתים. כדי להגיע ממנו לעץ AVL בגובה 6 צריך להוסיף לו לפחות 8 צמתים (כי העץ הקטן ביותר בגובה 6 מכיל 0 צמתים). לפיכך בהוספת 3 צמתים לעץ שבציור אי אפשר להגיע לעץ AVL בגובה

9 נפצל את הבן הימני של השורש של תת העץ הנ"ל על ידי הוספת 3 צמתים: ונקבל את תת העץ הבא: נפצל את הבן השני של השורש של תת העץ הנ"ל על ידי הוספת 3 צמתים:.1-.3 ונקבל את תת העץ הבא: לסיכום, לאחר הוספת 9 הצמתים , ,.1-.3 קיבלנו שהבן השמאלי של השורש (בעץ המקורי) התפצל לשני צמתים ולשורש יש עכשיו 5 בנים. נחזור על התהליך ונוסיף 9 צמתים נוספים לתת העץ ששורשו הבן הימני של השורש. ונקבל שהבן הימני של השורש יתפצל לשני צמתים ולשורש יש עכשיו 6 בנים. כדי שגובה העץ יגדל ב- 1 אנחנו צריכים שעוד בן של השורש יתפצל ל- צמתים. ולכן על ידי הוספת 9 צמתים נוספים לבן משמאל לבן הימני של השורש נקבל שלשורש יהיו 7 בנים ולכן הוא יתפצל וגובה העץ יגדל ב- 1. לסיכום, המספר המינימאלי של צמתים שצריך להוסיף לעץ המקורי כדי שגובהו יגדל ב- 1 שווה ל